Mechanická energia a kyvadlo

Prečo sa hojdačka vráti takmer do tej istej výšky, keď sa neodrážaš?

Čo sa naučíš

Vypočítam periódu pre malý uhol.
Sledujem, že súčet energií v ideálnom modeli ostáva.

Experiment

Pre L = 1 m a g = 9,81 m/s² je perióda malých kmitov približne 2,006 s. Pohyb počíta θ¨ = −(g/L) sin θ, nie malý uhol. Bez trenia súčet polohovej a pohybovej energie ostáva v numerickej tolerancii.

Načítavam simuláciu…

Vyskúšaj

Aká je perióda metrového kyvadla?

Overiť približne 2,006 s.

Nastav dĺžku 1 m a g = 9,81.
Prečítaj periódu pre malý uhol.

Čo vyjde?

približne 2,01 s a od hmotnosti to nezávisípresne 1 s

Perióda je približne 2,006 s.

Overenie pochopenia

V krajnej polohe ideálneho kyvadla je pohybová energia:

Vzorec T = 2π√(L/g) platí:

Vysvetlenie

V krajnej polohe je rýchlosť nula a polohová energia najväčšia. Dole je to naopak. Súčet sa pri ideálnom kyvadle nemení. Perióda na výstupe nezávisí od hmotnosti ani od malého počiatočného uhla.

Polohová energia Ep = m·g·h sa počíta od najnižšieho bodu, h = L(1 − cos θ). Pohybová je ½mv². Strata výšky zrýchli závažie. Malý uhol dovolí nahradiť sin θ uhlom v radiánoch, a vtedy je perióda T = 2π√(L/g). Veľký uhol túto skratku kazí, simulácia preto integruje presnejšiu rovnicu a periódu malého uhla uvádza osobitne. Hmotnosť sa v T nezruší omylom: v rovnici pohybu vypadne.

Pojmy

Polohová energia: Energia daná výškou. Nulová hladina je dohoda, tu najnižší bod.
Pohybová energia: Energia daná rýchlosťou, ½mv².
Perióda: Čas jedného kmitu tam a späť.

Príklad

Dlhšia hojdačka kmitá pomalšie. Ťažšie dieťa na tej istej dĺžke periódu v ideálnom modeli nezmení.

Čo sa často mýli

Väčšia hmotnosť nezväčší periódu jednoduchého kyvadla.
Vzorec s odmocninou L/g neplatí presne pre veľké rozkyvy. Patrí malým uhlom.

Čo model zjednodušuje

Záves je nehmotný, závesný bod pevný a trenie nulové. Skutočná hojdačka sa zastaví. Energie sa zachovajú len v tomto ideálnom modeli.

Vzorce

Polohová a pohybová energia

E_p = m g h,\quad E_k = \tfrac{1}{2} m v^2

Výška sa meria od zvolenej hladiny, rýchlosť od pokoja.

E_p: polohová energia, J
E_k: pohybová energia, J
h: výška, m
v: rýchlosť, m/s

Kedy platí: g je stále. Súčet je stály, keď trenie a odpor vzduchu zanedbáme.

Perióda malých kmitov

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

Čas kmitu pri malej výchylke.

T: perióda, s
L: dĺžka závesu, m
g: gravitačné zrýchlenie, m/s²

Kedy platí: Jednoduché kyvadlo a malý uhol, približne do 10°. Nezávisí od hmotnosti.